Algèbre linéaire Exemples

$x^{3} + 4 x^{2} - 17 x - 60 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3} + 4 x^{2} - 17 x - 60$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Étape 1.1.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

${(- 3)}^{3} + 4 {(- 3)}^{2} - 17 \cdot - 3 - 60$

Étape 1.1.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 + 4 {(- 3)}^{2} - 17 \cdot - 3 - 60$

Étape 1.1.3.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 4 \cdot 9 - 17 \cdot - 3 - 60$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$- 27 + 36 - 17 \cdot - 3 - 60$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $- 27$ et $36$ .

$9 - 17 \cdot - 3 - 60$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $- 17$ par $- 3$ .

$9 + 51 - 60$

Étape 1.1.3.7

Additionnez $9$ et $51$ .

$60 - 60$

Étape 1.1.3.8

Soustrayez $60$ de $60$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 17 x - 60}{x + 3}$

Étape 1.1.5

Divisez $x^{3} + 4 x^{2} - 17 x - 60$ par $x + 3$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$60$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	-	$60$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	-	$60$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x - 60$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$17 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	+	$60$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 20$

Étape 1.1.6

Écrivez $x^{3} + 4 x^{2} - 17 x - 60$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 3) (x^{2} + x - 20) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 3, 4, - 5$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs $x$ valides.

${x | x = - 3, 4, - 5}$

Étape 8